Голяма част от таблиците в този пост са генерирани чрез този онлайн генератор, а упражнителните задачи са базирани на упражненията от Levitz, K. & Levitz, H. (1979). Logic And Boolean Algebra. New York: Barron"s Educational Series.


***

Един от най-ефективните и стандартни методи за проверка истинността на съставно съждение в пропозиционната логика е таблицата на истинност. Ако разполагаме със стойността на истинност на всяко от отделните съждения, то можем да определим тази стойност и за резултатното съждение. Най-напред започваме със съждение P и най-елементарната операция, отрицание





 
В таблицата, с T обозначаваме логическа стойност истина, а с F - лъжа. Понякога се използват t и f, съответно. От предишен пост знаем, че ако P е "Днес е Понеделник", то ~P ще бъде "Не е вярно, че днес е Понеделник"/"Днес не е Понеделник". Последното съответства на първият ред в таблицата (когато P притежава стойност T). Ако логическата стойност на P e лъжа ("Не е вярно, че днес е Понеделник"), то отрицанието на P е "Днес е понеделник", отразено на втория ред в таблицата. Символното представяне на тази операция (отрицание на отрицанието) е следното


(1) ~(~P) P [закон за двойното отрицание]



Сега ще разгледаме таблицата на истинност, която включва операциите конюнкция, дизюнкция, импликация и еквивалентност. За по-лесно запомняне символите на първите две операции, необходимо е да се отбележи, че конюнкцията и символното й представяне (/) може да се свърже със съюзът "и" на английски и първата му буква ("AND"), докато дизюнкцията (/) се свързва с първата буква на латинското "или" ("VEL").




 



  В първата таблица използвахме само една операнда (P), докато в горната разполагаме с две (p и q). Първата колона отразява операцията дизюнкция ("или"), която притежава логическа стойност лъжа единствено и само тогава, когато двете съждения притежават стойност F. За този вариант може да се мисли като за символното представяне на погрешна дилема; предоставени се само две възможности, но съществува и трета. Други алтернативи за изразяването на дизюнкцията са "p или q или и двете" и "или p или q". Втората колона отразява операцията конюнкция ("и"), която притежава стойност истина единствено и само тогава, когато двете съждения притежават стойност T. Резултатът от конюнкцията на множество съждения (p / q / t / ...) е съждението, получено от всички операнди, чиято стойност е истина. Алтернативните форми на конюнкцията са "p, но и q", "както p, така и q", "не само p, но и q". В третата колона е отразена импликацията ("ако, то следва, че"), и както се вижда, резултатното съждение притежава стойност лъжа тогава и само тогава, когато стойността на антецедентното съждение е T, докато стойността на консеквентното съждение е F. В импликацията, антецедентното съждение е достатъчно условие ("p само ако q"/"p предполага q") за осигуряване истинността на консеквентното, а консеквентното съждение е необходимо условие ("q ако p") за осигуряване истинността на антецедентното. Последната колона представя операцията еквивалентност ("тогава и само тогава, когато"), и в този случай, съставното съждение притежава стойност истина единствено и само тогава, когато двете операнди притежат една и съща логическа стойност. Алтернативната форма на тази операция е "p, точно когато q".    



Ако разменим двете операнди при операцията импликация (p => q), получаваме инвертна импликация, докато размяната и отрицанието на двете операнди при операцията импликация ни предоставя контрапозитивна импликация. Символното представяне на тези две операции е както следва


(i) q => p [инвертна импликация]

(ii) ~q => ~p [контрапозитивна импликация]


Относно (i) не е сигурно дали логическата стойност на резултатното съждение ще съвпада с логическата стойност на съждението, получено от инвертната импликация. Например, нека p e "3 = 4", а q - "1 + 5 = 6". Тъй като логическата стойност на p е лъжа, а тази на q е истина, то следва, че логическата стойност на резултатното съждение (p => q) е истина, но логическата стойност на съждението от инвертната импликация (q => p) е лъжа. От друга страна, логическата стойност на дадено съждение от импликация и контрапозитивната й е винаги една и съща.


Съставните съждения биват определяни и като логически формули, чиято структура може да бъде разглеждана в изолация, като всеки от логическите елементи се включва в табличен вид, макар и да не е задължително. Броят на редовете в таблицата е равен на 2ⁿ, където n е броя на операндите, които са част от дадено съждение. Например, за съждение с 1 операнда, таблицата притежава 2 реда и следния вид

 

 

За значително по-комплексно съждение с 3 операнди, таблицата на истинност притежава 8 реда


 


Когато конструирате таблица на истинност, най-напред попълнете съответните стойности на истинност за всяка операнда, и след това стойностите на истинност за всеки структурен елемент от дадено съждение (ако е достатъчно сложно). Към определяне истинността на цялото съждение и извършването на последната операция се пристъпва едва когато се определи истинността на всеки структурен елемент. Забележете и разположението на логическите стойности, което покрива всички възможни конфигурации между операндите A, B и C.


Ако дадено съждение притежава логическа стойност истина за всяка конфигурация от логически стойности, то съждението се нарича тавтологична логическа формула. Следва пример за табличния вид на подобно съждение






Ако дадено съждение притежава логическа стойност лъжа за всяка конфигурация от логически стойности, то съждението се нарича противоречива логическа формула.




Съждения, които не попадат в гореспоменатите категории се наричат случайни логически формули. Символното представяне на тези три логически формули е


(2) A / ~A [тавтология]

(3) A / ~A [противоречие]

(4) A => B [случайност]


Когато конюнкцията на дадена последователност от логически формули (A₁, A₂ ... A_n) предоставя единствено стойност F, наричаме тази последователност съждително несъгласувана; ако имаме поне една стойност T, то последователността е съждително съгласувана. Проверката за съждителна съгласуваност се извършва в следната последователност

1. Предоставяме символният израз на всяка отделна логическа формула
2. Образуваме конюнкцията помежду съставните изрази
3. Съставяме таблица на истинност, включваща (1) 
4. Анализираме резултатните конфигурации спрямо гореизложените критерии

УПРАЖНЕНИЯ


1. Представете в табличен вид следните изрази


a) A / ~B
b) ~A => B
c) ~(A / C)
d) (A / B)  ~B
e) (B / A) / ~(B / A) 
f) [(B / A) / C]  [(B / C) / (A / C)]
g) [(A => B) / (C => ~D)] => (A / ~D)



2. Каква е инвертната импликация на M => N? А контрапозитивната импликация на R => D? 


3. Пешо, Иван и Тодор са заподозрени в убийство. Отговорите им по време на разпит са следните


Пешо: Иван е виновен и Тодор е невинен.

Иван: Ако Пешо е виновен, то и Тодор е виновен.

Тодор: Аз съм невинен, но поне един от другите двама е виновен.

  Ако допуснем, че всеки от тримата е невинен, кой е лъжецът? Използвайте таблица на истинност за да анализирате предоставените отговори.


4. Нека означим три каузално зависими събития със символите X, Y и Z. Или X ще се случи, или ако Y не се случи, то Z ще се случи. Ако X не се случи, то Z ще се случи. Ако Z се случи, то Y няма да се случи. Представете зависимостите между тези събития в табличен вид и проверете дали резултатната последователност е съждително съгласувана.  



   ОТГОВОРИ


1. a) 





b) 





c) 





d) 





e) 





f) 





g) 





2.  Инвертната импликация на M => N е


N => M


а контрапозитивната импликация е


~N => ~M


3. Най-напред въвеждаме следните означения


A: Пешо е невинен.
B: Иван е невинен.
C: Тодор е невинен.


Транслираме отговорите им в символни изрази


A: ~B / C
B: ~A => ~C
C: C / (~A / ~B) 


Конструираме таблица на истинност посредством тези три съждения





Тъй като се интересуваме от случая в който и тримата са предполагаемо невинни, необходим ни е последния ред (където разполагаме с 3 логически стойности истина). Оттук става ясно, че само Иван е казал истината, а Пешо и Тодор са излъгали. 


4. Вече разполагаме със символното представяне на събитията, сега следва да образуваме конюнкцията помежду им.


[X // (~Y => Z)] / (~X => Y) / (Z => ~Y)


Представяме връзките между събитията в табличен вид






Като използваме резултатите от таблицата, можем да заключим, че последователността е съждително съгласувана.