Хората често допускат грешки в индуктивните и вероятностните си съжденията. Те имат проблеми с определянето на стойностите на вероятности, касаещи всекидневни събития. Понякога не съобразяват да посочат правилните взаимовръзки между данните и събитията. Понякога интуицията им ги подвежда. Едно от най-значимите в тази насока изследвания е проведено от Амос Тверски и Даниел Канеман. Нека разгледаме следния техен пример: 



Разполагаме с две стандартни, неподправени зарчета. Една от презумпциите в тази ситуация е, че поради последната особеност, хората приемат вероятността дадена стойност на единичното зарче да се появи през даден интервал от подхвърляния е еднаква за всяка стойност на зарчето; събитието в което 6 се пада е еднакво вероятно колкото и събитието в което се пада 7. Подобен резултат изглежда доста интуитивен, но дали презумпцията е вярна? 



При подхвърлянето на двете зарчета, комбинациите - без повторения - при които цифрите се сумират до шестица, са следните: (1, 5), (2, 4), (3, 3). Комбинациите, при които цифрите се сумират до седмица, са следните: (1, 6), (2, 5), (3, 4). Всички комбинации от подхвърлянето на двете зарчета са илюстрирани по-долу: 



(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) 



Видно е, че сумата от стойностите на подхвърлените зарчета (този път ще имаме предвид и повторенията), които предоставят 6-ца, са 5, а предоставящите 7-ца са 6; ако си представим, че горната илюстрация е детерминанта с размери 6x6, то комбинациите за седмицата се намират върху основния горен диагонал, а тези за шестицата са разположени върху базов диагонал. Следователно, имаме повече възможности да подхвърлим седмица отколкото шестица. Тъй като вероятността да се падне която и да е стойност при едно подхвърляне на зарчетата е 1/36 (1/6 x 1/6, защото подхвърлянето на едното зарче се осъществява отделно от подхвърлянето на другото зарче), а поредицата от подхвърляния представлява поредица от взаимоизключващи се събития (защото не се случват едновременно, а освен това и се реализират независимо едно от друго), то вероятността да се падне седмица при подхвърлянето на две зарчета е равно на сумата от стойностите на отделните вероятности: 



Pr(7 с две зарчета) = 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 = 6/36 = 1/6



докато вероятността да се падне шестица е



Pr(6 с две зарчета) = 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 = 5/36



Следователно, при подхвърлянето на двете зарчета, появата на седмица е по-вероятно от появата на шестица, въпреки неподправеността на зарчетата.



Горните изчисления налагаха дефинирането на две събития: A (7 с две зарчета) и B (6 с две зарчета), но друг вариант включва и класическата дефиниция за вероятността на дадено събитие: частното от благоприятните случаи (в които събитието се случва) и всички възможни изходи от експериментите. Случаите в които резултатът е седмица са 6, следователно



Pr(A) = 6/36 = 1/6



а случаите, в които резултатът е шестица са 5, а оттук следва, че



Pr(B) = 5/36 



Националната лотария във Великобритания е въведена за пръв път едва в края на 20-ти век, през 1995 г. Когато се включат в играта на 6/49, голям брой хора решават да изберат комбинация, която смятат за нестандартна, предвид разновидностите от комбинации; в случая, (1, 2, 3, 4, 5, 6). Но ако системата не е "подправена", вероятността тази комбинация да бъде печелившата не е по-различна от вероятността на всяка друга последователност от числа. От гледна точка на теорията на вероятностите, разликата е несъществуваща, което означава, че изборът е направен от психологическо гледище. От друга страна, ако тази комбинация действително беше много по-ефективна от всички останали, и ако играещите разсъждаваха по приблизително еднакъв начин, то броят на печелившите щеше да се окаже неоптимален, защото сумата ще трябва да бъде поделена между немалък брой победители. Каквито и разлики да съзира даден играч между комбинации като горната и една по-стандартна (35, 18, 6, 10, 41, 12), то решението му да избере едната пред другата явно не се крепи върху вероятностни съображения.  



Друг пример за подобен феномен е т. нар. "логическа грешка на комарджията". Представете си, че сте се запътили към ваши приятели, които играят на рулетка. Колелото на рулетката е разделено на 36 сектора: 17 червени, 17 зелени, и две 0. Ако заложите на червен сектор, то печалбата ви е 10 лв. Ако заложите на зелен сектор, печалбата ви е 15 лв. В противен случай - ако колелото спре на една от двете нули - губите началната и натрупаната сума.



Тъкмо пристигате за нова игра, и след последното завъртане на рулетката забелязвате, че поредицата от завъртания досега винаги е завършвала със спирането на колелото върху червен сектор. Тъй като смятате, че рулетката е "неподправена", вероятно ще сметнете, че колелото скоро ще спре върху зелен сектор, защото вероятността то да спре върху червен сектор е една и съща с вероятността да спре върху зелен сектор. Но понеже в досегашната поредица винаги колелото е спирало върху червен сектор, то сега трябва да заложите на зеления. 



Вярно е, че когато даден експеримент с монета, зар или рулетка се извършва посредством неподправен елемент, вероятността за дадена конфигурация (ези или тура, цифрите от 1 до 6, или червен и зелен сектор) в достатъчно дълъг период от експериментиране е еднаква. Резултатите при подобно устройване са еднакво вероятни, и това е обусловено от нормалното, неподправено състояние на съответния елемент. В този случай казваме, че резултатът се дължи на шанс.



Но когато е намесено известно ниво на произволност в даден експеримент, съществува и друг много важен фактор - независимост на опитите. Например, предишното подхвърляне на две зарчета, на две монети, или завъртане на колелото на рулетката не влияе върху резултатите от текущото действие. Вероятността за даден резултат е една и съща. Но дори и с неподправена система е възможно резултатите да бъдат манипулирани, ако липсва факторът независимост на събитията. И това е предпоставката за логическата грешка на комарджията: той взема предвид единствено фактът, че дадено устройство е неподправено, но забравя за независимостта на отделните опити, и по този начин допуска приемането на логическо противоречие. От една страна е убеждението му, че поради честността на системата, предишните завъртания на рулетката не оказват влияние върху бъдещите завъртания. Но от друга страна той решава да заложи на зелен сектор, защото съгласно разсъжденията му, предишните многобройни и последователни спирания на колелото върху червен сектор представляват достатъчно добра причина да смята, че при следващото завъртане рулетката ще спре върху зелен сектор. По този начин, комарджията си противоречи.   



Ако рулетката действително беше подправена, то горните разсъждения щяха да бъдат коректни, защото даден резултат ще бъде по-вероятен от другите резултати, и в поредицата от експерименти щеше да се появи модел. В този случай, отделните завъртания на рулетката не са независими. Но ако комарджията не смята, рулетката е подправена, то той не би приел горните две конфликтни идеи.



Това логическо противоречие не е налице единствено в ситуация като гореописаната; ако в даден призволен процес е наблюдаван продължителен период от резултат A, много хора са склонни да смятат, че резултатът ще се промени в бъдещето, и A ще се появява по-малко пъти (или противната теза, съгласно която ако в продължителен период A се случва по-малко пъти, то в бъдеще ще се наблюдава по-често). Но ако процесът действително е произволен, то вероятността за появата на A в бъдещето не се влияе от вероятността за появата на A при предишни опити.  


Съществува и друга разновидност на тази грешка, известна като "инверсна логическа грешка на комарджията", която е въведена за пръв път от канадския философ Ян(/Йън) Хакинг. Историята на тази логическа грешка и поводът да бъде въведена са интересни. Когато американския физик и космолог Джон Уилър представя хипотезата си за поредица от вселени, които изчезват и се появяват чрез единичен Голям Взрив, Хакинг подлага вероятностната презумпция на критика. Хипотезата е отчасти въведена поради желанието на Уилър да обясни фината настройка на Вселената, както и привидното наличие на дизайн и цел в съставните й части. Вярно е, че съществуването на такава Вселена е крайно учудващо ако това се дължи на еднократно събитие, но ако се приеме, че тази вселена е просто следващата в резултат от предишни и последователни възниквания на поредица от вселени, то шансът да се появи вселена, позволяваща възникването на живот като нашия се повишава, и хипотезата за случайната поява вече съвсем не изглежда неправдоподобна. 




Хакинг отбелязва, че когато даден резултат в произволен и последователен процес - като описания от Уилър - е учудващ, то не следва, че експериментът довел до този резултат е повтарян многократно. Например, ако се появите при ваш приятел точно в момента в който той подхвърля две зарчета, и двете от които се пада шестица, то съвем не следва, че той е провел множество от подхвърляния преди да пристигнете. Може би това е първото подхвърляне на зарчетата. Този принцип отново може да бъде генерализиран: погрешно е да се смята, че учудващия резултат от даден произволен процес е добра причина за постулирането на многократни предишни опити. Както ще стане ясно в друга статия, не липсват и критики към принципът.



Обикновено в контекста на вероятностите обсъждаме събития: вероятността да се падне ези или тура при подхвърлянето на една неподправена монета е 0.5, или казваме, че вероятността Слънцето отново да изгрее в утрешния ден е висока. Но е интуитивно ясно, че идеята за вероятност може да се приложи и към твърдения. Например, вероятността квадратът да притежава четири страни и четири ъгли е единица. Ако твърдението бъде представено във вида



I: Квадратът притежава четири страни и четири ъгли.



както представяхме твърденията в по-ранна статия, то съвсем коректно би било да заявим, че


Pr(I) = 1


и това е вярно за всяка логическа истина. Аналогична е ситуацията и с твърдение, което е логическа неистина, като


T: Квадратът притежава пет страни и пет ъгли.


като тук вероятността е просто нула


Pr(T) = 0



В общия случай, вероятността на дадено събитие или твърдение е вероятността съответното събитие да се случи или да не се случи, или съответното твърдение да бъде вярно или невярно. Понякога говорим и за вероятността на някое наше убеждение, като с това обозначаваме нашето равнище на убеденост в истиността на това твърдение. В този контекст, вероятността която прикачваме към дадено твърдение трябва да бъде интерпретирана като субективна вероятност.



По този модел се процедира и с други твърдения, защото вероятността дадено твърдение да бъде истина или неистина винаги е равна на стойност, която се намира между 0 и 1. Как това би могло да ни бъде от полза? Позитивният аспект на подобно приложение на вероятностната теория е, че то съвпада с нашата интуиция за това как придобиваме нова информация, факти и доказателства, които след това оказват влияние върху преценката ни, като я променят в една или друга посока. Подобно приложение на вероятностната теория е известно като условна вероятност, и е основополагащо за доказване на вече разгледаната теорема на Бейс.  

Логическата грешка на комарджията е предположението, че е възможно рулетката да не е подправена. Рулетката е винаги подправена, а случаят който даваш за пример е именно ярка илюстрация на това че е подправена. Ако вероятността да се падне червено и зелено е равна, и се пада в повечето случаи червено, причината е в това, че червеното печели по-малко и съответно - повечето хора най-вероятно залагат в повечето случаи на зелено. И печалбата за организатора на играта е свързана с това, да манипулира рулетката така че да се пада повече червено.

С горното си писантие, ти сега скриваш именно тоя най-важен факт. Защото акцентираш на пълен анализ на възможностите и вероятностите на две неподправени зарчета, което е най-простия анализ, но все пак достатъчно сложен и интересен за много хора и особено такива дето са били тройкаджии по математика в трети клас. Но след това отиваш към сложни и отвлечени теории. А същевременно не казваш в прав текст, че при неколкократно паднало червено вероятността да се пада все червено е най-голяма, защото изводът е че рулетката е манипулирана. При което, тоя който сяда да играе, трябва да се интересува, колко е общия залог на зелено (в пари) и колко на червено. Като отчете същевременно, че няма да се пада винаги червено и при всички случаи при които залозите на червено са по-малки от тия на зелено.

Възможно е резултатите, така описани, действително да се дължат на подправено устройство. Но това не е единственото обяснение; играта на рулетка, при равни други условия, е игра на шансове и късмет, и в краткосрочен план, човек може да спечели и в двата случая. В дългосрочен план е естествено, че казиното ще печели, или че правилата винаги ще накланят везната в негова полза. Само от наблюдаваното обаче няма как да разберем дали е подправена рулетката: ще са необходими отговори и на други въпроси, за това как казиното се сдобива със съответните рулетки, как ги поддържа, кой ги поддържа и т. н. Но 6 или дори 13 поредни червени сектора - както и 6 или 13 поредни падания на "ези" или "тура" - са стандартна ситуация, защото в дългосрочен план, вероятността да се падне другата страна (отново по 6 пъти, примерно) остава същата. Грешката на комарджията е логическа, но също и психологическа. На човек му се падат 4 червени сектора подред и той се надява, че петият сектор ще се падне зелен и това ще обърне хода на играта. Прочее, колкото повече се пада една и съща страна, толкова по-малка става вероятността да се падне същата страна при всеки следващ опит. Пример с монетата - вероятността да се падне 13 пъти "тура" (или "eзи") подред е 1/2 x 1/2 x 1/2... и така 13 пъти. Същата е вероятността да се падне тура 12 пъти и след това серията да завърши с ези. Но това е вярно, защото в дългосрочен план вероятността тези поредици да се появят е еднаква, и в този смисъл е вярно, че вероятността да се появи червено и зелено също е една и съща. Може би когато видите "еднаква вероятност", вие мислите за поредица, в която присъства следния модел: червено-зелено-червено-зелено-червено... и т.н, и затова смятате, че всяко отклонение от този модел е признак за подправена апаратура, докато всъщност е точно обратното - ако това действително беше моделът на рулетката, всеки комарджия би се възползвал като просто играе всеки следващ път с алтернативния цвят на сектора.