Постинг
03.08.2016 22:15 -
Задачата на Монти Хол - Елементарно решение
Задачата на Монти Хол е изключително известен проблем, породил множество разгорещени дебати и кореспонденции между авторът на оригиналното му условие, Мерилин вон Савант, и десетки професори по математика из цяла Америка. Поставянето на основите му може да бъде проследено до по-рано предложена задача, с автор американският математик и научен популяризатор Мартин Гарднър (1914-2010). Известна с измамната си интуитивност и простота, задачата на Монти Хол често се оказва подводен камък в стремежа на студентите да установят собствените си вероятностни преценки и слабостите им. Отговорът на задачата изглежда неинтуитивен, защото съпровождащите обяснения често не са особено детайлни, а понякога просто се приема, че не е необходим различен формат за визуализация, който да позволи на любопитните хора да разберат процесът на решение. Уви, дори и експертите в областта изпитват немалки затруднения с достигането до и приемането на правилното решение. Броят на предоставилите погрешен отговор математици е огромен, като в първоначалната кореспонденция между тях и Савант не липсват и лични нападки към нея, както и обвинения в математическа некомпетентност ("инумерация", по подобие на езиковата "илитерация"). В този пост накратко ще представя условието на задачата и едно от решенията, който смятам за лесноразбираемо и праволинейно.
Какво е условието на задачата? Последната е базирана на телевизионна игра от средата на 20-ти век (на която е водещ небезизвестният Монти Хол), в която даден участник има възможност да спечели автомобил или крупна парична сума, като за целта трябва да избере една от три врати, като всяка от вратите е номерирана с цифрите от 1 до 3. Автомобил се намира единствено зад една от вратите, като зад останалите две обикновенно е разположена една недотам ценна награда (например, коза!), като е възможно и зад вратата да няма нищо. Участникът в играта избира една от трите врати, след което Монти отваря една от останалите две и разкрива какво има зад нея. Накрая, Монти предоставя на участникът следния избор: да запази първоначалния си избор и след това избраната от него врата да бъде отворена, или да смени своя оригинален избор с неотворената врата, разкривайки обектът зад нея. Предполага се, че - като водещ на предаването - Монти е наясно с позициите както на второстепенните награди, така и с позицията на автомобилът. Това означава, че когато избира врата, Монти не извършва своя избор на произволен принцип. Това е изключително важна подробност, която ще ни бъде от полза в следващите обяснения.
Разбира се, в някои версии на задачата, Монти предлага крупна парична сума на играчът, който успее да избере вратата с голямата награда при първия си избор, с надеждата съответния участник да се откаже от текущата си позиция. Действията на водещият са разбираеми, защото той иска да заблуди участникът и по тази причина всякога ще избере вариант, който води до спечелването на второстепенна награда, включително и смяна на избраната врата. Въпреки това, поставени пред условния избор, как трябва да постъпим за да увеличим шансовете си за победа и да се сдобием с нов автомобил (вместо с коза!)? Ако искаме да надхитрим Монти, трябва ли да останем с първоначално избраната от нас врата, или е необходимо да приемем предложението му за смяна на вратата?
Най-напред ще въведем няколко разяснения. Когато обсъждаме вероятността за реализирането (появата) на някакво произволно събитие A, необходимо е да предоставим и вероятността за нереализирането (непоявата) на A, което традиционно се обозначава с ~A. Ако подхвърляме една монета и с "ези" обозначим събитието A, то появата на противоположното събитие "тура" се представя с ~A. Тези събития са взаимоизключващи се и са взаимно изчерпателни; с тях се обозначават всички възможни резултати от дадено подхвърляне. Същевременно с това знаем, че когато биват сумирани, вероятностите на двете описани събития трябва да се сумират до единица. Следователно
1. P(A) + P(~A) = 1
След малко ще използваме това правило, като преди това отбележим, че според условието на задачата, вероятността автомобилът да се намира зад която и да е врата е 1/3, защото разполагаме само с един автомобил зад дадена врата, а възможните избори са общо три. Вероятността зад дадена врата да е разположена второстепенна награда е двойно по-голяма - 2/3, защото има две врати зад които няма нищо (или второстепенна награда).
Сега ще споменем една от най-често допусканите грешки в разсъжденията за проблемът на Монти Хол. Тя се състои в допускането, че веднъж щом една от трите врати бъде отворена, вероятността автомобилът да се намира в една от останалите две врати е 1/2, само и единствено защото разполагаме с два избора. Нямаме причина да смятаме, че е по-вероятно автомобилът да се намира зад едната вместо зад другата неотворена врата, и следователно е рационално да допуснем, че няма причина да изберем едната врата пред другата. Явно е, че тук участникът апелира към принципът на безразличието, приложен към описаната ситуация. Но и в този случай съществува допълнителна причина приложението на принципът да бъде отхвърлено, защото както ще разберем по-долу, разполагаме с причина да смятаме наличието на автомобил зад една от вратите за по-вероятно.
Ако Монти не беше наясно с разположението на отделните обекти зад всяка врата, горното допускане щеше да се окаже вярно. В този случай, той не знае какво се намира зад всяка една от вратите, и следователно не знае към коя от вратите да се насочи, за да подведе съответния участник. Следователно, дори и водещият ще трябва да сметне всяка от алтернативите за равновероятни, като вероятността автомобилът да се намира зад някоя врата остава 1/3. Но Монти знае зад коя врата има автомобил, и знае зад коя врата е разположена второстепенна награда. Това негово знание променя напълно ситуацията ни, и служи като знак за това как трябва да постъпим когато получим правото на избор след първоначално избраната опция. Прочее, няма значение към коя врата се насочваме с първия си избор, изводът е верен без оглед на началното подбиране.
След като вече сме наясно с параметрите на заданието, нека предположим, че сме избрали вратата, обозначена с номер 1. Монти отваря врата номер 3 и разкрива нейното екзотично съдържание:
Беееееееее!
След като врата номер 3 вече е отворена, нашият избор се състои в предпочитането на първоначално избраната от нас врата (номер 1) или другата врата, номер 2. Автомобилът е зад една от тези две врати. Но вече знаем, че едната врата е елиминирана от разглеждане, и появата на благоприятното за нас събитие е изборът на вратата зад която е разположен автомобил. Наличието на второстепенна награда зад която и да е от останалите врати представлява липсата на автомобилът зад съответната врата. Но наличието на автомобил зад една от вратите е равносилна на липсата на автомобил зад другата врата. Следователно, ако обозначим наличието на автомобил зад първоначално избраната от нас врата (припомням, че номерът й всъщност е без значение) с K, то липсата на автомобил зад избраната врата и наличието на автомобил зад другата неотворена врата ще бъде обозначено с ~K. Появата на събитието "Зад първоначално избраната врата има автомобил." е контрастирано с непоявата на събитието "Зад първоначално избраната врата няма автомобил.", и обратното. Двете събития са взаимоизключващи се, и с тях се изчерпват всички алтернативни резултати от играта, тъй като вече знаем, че зад една от вратите се намира едната второстепенна награда. Разсъжденията ни могат да бъдат разширени и до случаите в които имаме не просто 3, а 300 врати. Същото е валидно и за 10,000 врати.
В началото на играта, шансът да предоставим печеливш отговор беше само 33%, докато шансът да изберем второстепенна награда беше 66%. Но сега след като съдържанието на една от вратите вече е известно, шансовете ни се променят, защото знаем, че вероятността автомобилът да се намира зад първоначално избраната от нас врата все още е
2. K = 1/3
Но посредством (1) можем да изчислим стойността за появата на ~K, т. е. вероятността автомобилът да се намира зад другата врата.
3. P(K) + P(~K) = 1 => P(~K) = 1 - P(K) = 2/3
Следователно, ако решим да сменим първоначалния си избор с другата достъпна алтернатива, шансовете ни да спечелим голямата награда се покачват двойно. Ако винаги решим да заменяме първият си избор с другата врата, можем да очакваме успех в две-трети от случаите (или през 66% от времето през което извършваме този избор), но ако решим да запазим първоначалния си избор, ще печелим само в една-трета от случаите (или само през 33% от времето през което извършваме изборът). Поради тази причина (и освен ако не ви е нужна коза) не се колебайте - сменяйте!
Следващ постинг
Предишен постинг
Няма коментари